一、数字特性

掌握一些最基本的数字特性规律，有利于我们迅速的解题。(下列规律仅限自然数内讨论)

(一)奇偶运算基本法则

【基础】奇数±奇数=偶数;

偶数±偶数=偶数;

偶数±奇数=奇数;

奇数±偶数=奇数。

【推论】

1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数;如果和是偶数，那么差也是偶数。

2.任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反;和或差是偶数，则两数奇偶相同。

(二)整除判定基本法则

1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

能被2(或5)整除的数，末一位数字能被2(或5)整除;

能被4(或 25)整除的数，末两位数字能被4(或25)整除;

能被8(或125)整除的数，末三位数字能被8(或125)整除;

一个数被2(或5)除得的余数，就是其末一位数字被2(或5)除得的余数;

一个数被4(或 25)除得的余数，就是其末两位数字被4(或 25)除得的余数;

一个数被8(或125)除得的余数，就是其末三位数字被8(或125)除得的余数。

2.能被3、9整除的数的数字特性

能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除。

一个数被3(或9)除得的余数，就是其各位相加后被3(或9)除得的余数。

3.能被11整除的数的数字特性

能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。

(三)倍数关系核心判定特征

如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a是m的倍数;b是n的倍数。

如果nx=my(m，n互质)，则x是m的倍数;y是n的倍数。

如果a∶b=m∶n(m，n互质)，则a±b应该是m±n的倍数。

二、乘法与因式分解公式

正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc;

逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c;(又叫“提取公因式法”)

平方差：a2-b2=(a-b)(a+b);

完全平方和/差：(a±b)2=a2±2ab+b2;

立方和：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

立方差：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

完全立方和/差：(a±b)3=a3±3(a2)b+3a(b2)±b3;

等比数列求和公式：S=a1(1-qn)/(1-q) (q≠1);

等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

三、三角不等式

丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨;丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨;丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨;-丨a丨≤a≤丨a丨;丨a丨≤b=>-b≤a≤b。

四、某些数列的前n项和

1+2+3+…+n=n(n+1)/2;

1+3+5+…+(2n-1)=n2;

2+4+6+…+(2n)=n(n+1);

12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)/3

13+23+33+…+n3=(n+1)2n2/4

13+33+53+…+(2n-1)3=n2(2n2-1)

1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3