一、整除的概念
若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除(或说b能整除a)
二、整除的核心
判断数字特征，化繁为简：抓住题目中的一句话或者一个符号特征，利用这一关键点是题目简单化。
举例说明：张三家养了一群猪，其中3/8是黑毛猪，问张三家共有多少头猪?有黑毛猪多少头?
我们可以抓住题目中的特征符号--分数，张三家3/8是黑毛猪，所以猪的总数能被8整除，黑毛猪的数量能被3整除。那么哪些数具有能被3整除的特点?哪些数具有能被8整除的特点?我们就非常有必要掌握这些小数字的整除判定。
三、常用小数字的整除判定
1、局部看
(2，5)一个数的末一位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除;
(4，25)一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除;
(8,125)一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除;
2、整体看
(1)整体做和(3,9)
如果一个数各位数数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除
(2)整体做差(7,11,13)
如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11、13整除，那么这个数能被7、11、13整除
3、其他合数
将该合数进行因数分解，能同时被分解后的互质因数整除。
比如：判断一个数能否被6整除，那么把6拆成2*3，如果这个数既能被2整除也能被3整除，那么它一定能被6整除。
四、整除的应用环境
1、文字描述出现整除：明显整除字眼，出现“每”“平均”“倍数”
【例题1】：单位安排职工到会议室听报告，如果每3人坐一条长椅，那么剩下的48人没有座位：如果每5人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅，听报告的职工有多少人?
A.128 B.135 C.146 D152
[解析]每5人坐一条长椅，则总人数为5的倍数，选B。
【例题2】篮子里装有不多于500个苹果，如果每次二个、每次三个、每次四个、每次五个、每次留个地取出，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次取出七个，那么没有苹果剩下，篮子中共有多少个苹果?
A.298 B.299 C.300 D.301
[解析]每次取7个，所以苹果总数为7的倍数。选D。
【例题3】一个代表团租车出游，平均每人应付车费40元。后来又增加了7人，这样每人应付的车费是35元，租车费是()
A.2000元 B.1960元 C.1900元 D.1850元
[解析]题中出现了“平均每……”35的倍数。选B。
2、数据体现整除：出现分数、百分数、比例、倍数等。
【例题1】某粮库里有三堆袋装大米。一直第一堆有303袋大米，第二堆有全部大米袋鼠的五分之一，第三堆有全部大米袋鼠的七分之若干。问粮库里共有多少袋大米?
A.2585袋 B.3535袋 C.3825袋 D.4115袋
[解析]题中出现了分数，用整除。同时是5和7的倍数，选B。
【例题2】学校初一年级有学生135人，某次运动会上，概念机男生中的1/5参加长跑，女生中的1/10参加竞走，其他人没有参加任何项目。已知该年级参加运动会人数最多站年级总人数的1/5.问该年级男生人数的最大值为多少?(男女人数均不为0)
A.55 B.125 C.135 D.155
[解析]题中出现了分数，用整除。B. 女生为10的倍数，则女生最少为10人，故男生的最大值为135-10=125人。
【例题3】养殖户张三为专心养鸡，将自己养的兔子交于李四合养，一直张三、李四共养兔子260只，其中张三养的兔子有13%是白兔，李四养的兔子有12.5%是白兔，问李四养了多少只非白兔?
A.125 B.130 C.140 D.150
[解析]题中出现了百分数，用整除。李四养的12.5%=1/8是白兔，所以7/8是非白兔，非白兔为7 的倍数，选C。
【例题4】学校有足球和篮球的数量比为8:7，先买进若干个足球，这时足球与篮球的比变为3:2，接着又买进一些篮球，这时足球与篮球数量比为7:6。一直买进的足球比买进的篮球多3个，原来有足球多少个?
A.48 B.42 C.36 D.30
[解析]题中出现了比例，用整除。由题目第一句可知，足球数量为8的倍数，选A。
3、计算中用整除：列式后，如果式子难解就用整除化简计算过程。
【例题1】：13×99+135×999+1357×9999的值是多少?
A.15017495 B.13574795
C.13704675 D.13704795
[解析]9的倍数。选D。
【例题2】要求厨师从12种主料中挑选出2种，从13中配料中挑选出3中来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴?
A.131204 B.132132 C.130468 D.133456
[解析]找7的倍数，选B。
【例题3】某手机商从刚刚卖出去的一步手机中赚到了10%的利润，但如果他用比原来进价低10%的价钱买进，而以赚20%利润的价格卖出，那么售价减少25元。请问这部手机卖了多少钱?
A.1250元 B.1375元 C.1550元 D.1665元
[解析]根据题目第一句，”赚到10%的利润“假设成本为A，则售价为A(1+10%)=1.1A，结果为11的倍数。
